画像処理の基礎講座(目次)  画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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1.画像の周波数特性の基礎

1-6.三角関数の基本特性

画像の周波数特性は三角関数が基礎になっていますので、三角関数の基本的な性質について少し説明しておくことにします。

図1−11に一般的な正弦関数を示します。以下の説明では、画像に拡張していくことを考えて時間変数tではなく位置変数xを用いて説明していきます。

図1-11:一般的な正弦関数

ここで、初期状態(x=0)が点Oの位置にあるとすると、この角度α(rad)を初期位相と呼びます。また、Aは波形の大きさを表しており振幅と呼んでいます。正弦関数の波形は角周波数Ω、振幅A、初期位相αによって決定され、角周波数が波形の変化の速度を、振幅が波形の大きさを、初期位相が波形のずれを表します。従って、一般的な正弦関数は次の式で表されます。

g(x)=A・sin(Ωx+α) … (1-30)

図1−12に振幅=1、初期位相=0とした時の正弦関数と余弦関数を表します。

図1-12:正弦関数と余弦関数の関係

この図から正弦関数と余弦関数は波形がπ/2ずれたものと考えることができます。従って、この2つの間には次の関係が成り立っています。

cos(θ)=sin(θ+π/2) … (1-31)

 三角関数の最も基本的な公式として加法定理が存在します。式(1-32)〜(1-34)に加法定理を示します。

sin(α+β)=sinα・conβ+cosα・sinβ … (1-32)

sin(α−β)=sinα・conβ−cosα・sinβ … (1-33)

cos(α+β)=cosα・conβ−sinα・sinβ … (1-34)

cos(α−β)=cosα・conβ+sinα・sinβ … (1-35)

三角関数のその他の基本的な公式はこれらの加法定理から導くことができます。

最後に、フーリエ変換で用いられる三角関数の合成について説明しておきます。同期した動きを持つ正弦関数と余弦関数の和すなわち角周波数が同じ正弦関数と余弦関数の和を三角関数の合成と呼び、以下の式で示すように1つの正弦関数または余弦関数で表すことができます。

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