画像処理の基礎講座(目次)  画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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1.画像の周波数特性の基礎

1-4.画像への拡張(1次元画像)

ここまでは時間的に変化する周期信号すなわち時間を変数とした三角関数を考えてきましたが、画像の場合は、時間的に変化する信号ではなく位置によってその濃度値が変化する信号となります。そこで、次に位置を変数とした三角関数を考えて行きます。但し、画像の場合、各画素の濃度値は一般に1バイト(8ビット)で表されますので、その値は0〜255(=2−1)の範囲になります。従って、次式で表される正弦関数を考えます。

g(x)=127.5・sin(Ωx)+127.5 … (1-23)

ここで、位置変数をx、位置に関する角周波数をΩとし、図1−7に式(1-23)の正弦関数を示します。

図1-7:位置変数の正弦関数

図1-8:画像信号

実際の画像は図1−8に示すように一定の大きさを持つ画素で構成されていますので、画素の大きさを一辺がΔxの正方形とするとΔxごとに異なる濃度値を持つことになります。従って、実際の画像が示す正弦関数は、式(1-23)の正弦関数をΔxの間隔で標本化した関数になり、次の式で表されます。

g(n)=127.5・sin(ωn)+127.5 … (1-24)

ω=ΩΔx … (1-25)

ω:標本化された信号の正規化角周波数

Δx:サンプリング周期(画素の大きさ)

Ω:標本化される前の信号の角周波数

n=0,1,2,3,.......

図1−9(a)に式(1-23)の正規化した標本化正弦関数を示します。また、図1−9(b)に図1−9(a)の正弦関数が表す画像を示します。

図1-9:1次元の周期画像

さて、画像におけるサンプリング周期ですが、画像は1ピクセルごとにデータを標本化しますので、画像をピクセル単位で考えた場合は、Δx=1(pixel)となり式(1-25)より

ω=Ω … (1-26)

が得られます。従って、この場合は正規化角周波数と標本化される前の信号の角周波数は等しくなります。また、画像の解像度がD(ppi:pixel per inch)の時、画像をmm単位で考えるとサンプリング周期Δx(mm)は

Δx=25.4/D (mm)

となり、式(1-25)から

ω=25.4・Ω/D … (1-27)

が得られ、この式を用いて正規化角周波数から標本化される前の信号の角周波数を計算します。標本化される前の信号の角周波数に関しては、式(1-9)に示すように

Ω=2πf … (1-9)

が成立します。画像の場合は周波数(f)を特に空間周波数と呼びます。従って、画像の空間周波数は、正規化角周波数より式(1-26)、(1-27)、(1-9)を用いて計算できます。

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