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3.フーリエ級数の基礎

3-3.ギブス現象

 次に、図3−3に示す方形波(周期:T)のフーリエ級数について考えてみます。方形波の場合、三角波とは異なりT/2、T、...で不連続な値を持つ波形になっていることに注意して下さい。

図3-3:方形波

方形波のフーリエ級数は

式3-11〜3-13

で表されます。図3−3に示す方形波の平均値は0ですので、フーリエ級数の定数項(直流成分)は0になります。図3−8に5次までの高調波、9次までの高調波、19次までの高調波、59次までの高調波で方形波を近似した波形を示します。

図3-8:ギブス現象

この図より、不連続点でのフーリエ級数の値は左から不連続点に近づいた時の値(E)と右から不連続点に近づいた時の値(−E)の平均値(0)に収束しますが、不連続点の左右の近傍では大きなリップル(行き過ぎ量)が生じる事がわかります。この現象はギブス現象と呼ばれ、方形波のように不連続点を持つ周期関数をフーリエ級数で表した場合に生じる特有の現象です。このリップルの値はいくら高次の高調波を用いて近似しても減少することはなく、不連続点における跳躍量(ここでは2E)の約9%(0.089)のリップルが残ることになります。

 不連続点を持つ周期関数の例として方形波を用いましたが、特定の範囲で定義された関数を図3−9に示すようにして周期関数に拡張する場合も不連続点を持つ周期関数と考えることができます。従って、このような場合もギブス現象が生じることになります。

図3-9:特定の範囲で定義された関数の周期関数化

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