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3.フーリエ級数の基礎

3−2.フーリエ級数

ここまでは周期関数として三角関数について述べてきましたが、三角関数以外にも様々な周期関数が存在します。例えば、図3−2に示すような三角波や図3−3に示すような方形波も周期T(角周波数Ω)の周期関数になっています。

図3-2:三角波

図3-3:方形波

周期T(角周波数Ω)の周期関数g(x)

g(x)=g(x+nT) … (3-3)

T=2π/Ω   … (3-4)

は、一般に次に示す三角関数の和で表すことができます。

式3-5〜3-7

この式は、任意の周期関数はその角周波数Ωを基本波とする三角関数とその高調波の和で表すことができるということを意味しています。式(3-5)で表される関係式はフーリエ級数と呼ばれ、a、bはフーリエ係数と呼ばれています。

図3−2に示す三角波はフーリエ級数を用いると次のように表すことができます。

式3-8〜3-10

これらの式を見ただけではフーリエ級数のイメージがつかみにくいと思いますので、少し直感的な説明をしておきます。但し、以下の説明はかなり大雑把な説明ですので数学的に厳密な説明を知りたい人は文献(7)(8)(9)に示すような参考書を参照して下さい。

図3-4〜3-6:フーリエ級数の概略説明

図3−2に示す三角波の近似表現を考えた場合、最も単純な方法として、図3−4に示すようにその平均値で近似することが考えられます。これが式(3-6)で示すフーリエ級数の定数項(E)に対応し、フーリエ級数の直流成分とも呼ばれています。次に、この平均値と三角波の差の近似を考えます。周期関数から一定の値(平均値)を引いても結果は元の周期関数と同じ周期を持つものと考えられますので、この差を三角波と同じ周波数を持つ三角関数(8E・cos(Ωx)/(T/2))で近似します(図3−5)。この時三角関数の係数(8E/(T/2))は誤差の二乗和が最小になるように決定されます。ここで、更に生じた誤差は近似のために用いた三角関数の周波数よりも高い成分になります。そこで、より高い周波数を持つ三角関数(8E・cos(3Ωx)/(3Tx/2))でこの差を誤差の二乗和が最小になるように近似します(図3−6)。同様にして、より高い周波数を持つ三角関数で誤差の二乗和が最小になるように順次近似していきます。このようにして、周期関数を直流成分、周期関数と同じ周波数を持つ三角関数、この三角関数を基本波とする高調波で誤差の二乗和が最小になるように順次近似していったものがフーリエ級数となります。

図7に5次までの高調波を用いたフーリエ級数で三角波を近似した図を示します。

図3-7:5次までの高調波を用いた三角波の近似

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