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3.フーリエ級数の基礎

3-4.フーリエ級数の複素数表現

ここまでは、式(3-5)で示すように三角関数でフーリエ級数を表してきましたが、数式的な処理を行う場合、2章の複素数の基礎で説明したように指数関数で表現した方が扱い易くなります。そこで、複素数を用い指数関数でフーリエ級数を表してみましょう。

オイラーの公式

iθ=cosθ+i・sinθ … (3-14)

より、sinθ、cosθは指数関数を用いて次のように表すことができます。

sinθ=(eiθ−e−iθ)/2i … (3-15)

cosθ=(eiθ+e−iθ)/2 … (3-16)

従って、式(3-15)、(3-16)を用いて式(3-5)を書き直すと

式3-14

のように表すことができます。ここで

式3-15

とおくと、式(3-14)は

式3-17〜3-18

と表せます。式(3-16)を式(3-5)と比較すれば、指数関数を用いることにより単純な形でフーリエ級数を表すことができることが分かります。

また、複素平面上ではcは図3−10のようになりますので

図3-10:複素平面上でのCn

と表すことができます。従って、フーリエ級数は

と表すこともできます。オイラーの公式よりeinΩxはn次の高調波成分を表していますので、式(3-23)において|c|はn次の高調波成分の強さ、αはn次の高調波成分の位相遅れを表します。これらは、それぞれ振幅スペクトル(|c|)、位相スペクトル(α)と呼ばれています。

 周期関数の振幅スペクトルと位相スペクトルを求めることを調和解析、フーリエ解析等と呼び信号解析の基本となっています。式(3-19)、(3-20)より、フーリエ係数はその周波数成分の振幅スペクトルと位相スペクトルを決定しますので、フーリエ解析ではフーリエ係数が重要な役割を果たしていることが分かります。

 図3−11に図3−3に示す方形波の振幅スペクトルを表します。フーリエ級数では周波数成分は基本波(角周波数:Ω)とその高調波のみですので、振幅スペクトルはΩとその整数倍の飛び飛びの値をとることになります。

図3-11:振幅スペクトル

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