画像処理の基礎講座(目次)  画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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2.複素数の基礎

2-6.複素数における指数関数と三角関数

 実数の範囲では三角関数と指数関数は全く別種の関数でしたが、複素数の範囲に拡大するとオイラーの公式

iθ=cosθ+i・sinθ …(2-42)

より、三角関数が指数関数に統合されこれらの関数は同種の関数として扱うことができるようになります。このことにより、複素数の範囲では、三角関数の諸公式を指数関数の形で簡略化して表すことが可能になります。

 オイラーの公式より、複素数の範囲では三角関数は指数関数を用いてそれぞれ次のように定義することができます。

cosθ=(eiθ+e-iθ)/2 …(2-47)

sinθ=(eiθ−e-iθ)/2i …(2-48)

これらの式は式(2-42)の実部と虚部を共役複素数で表すことに相当しています。また、三角関数の諸公式の基礎となる加法定理は指数関数の乗法公式で表わすことができます。すなわち、

i(θ1+θ2)=eiθ1iθ2

より、

cos(θ+θ)+i・sin(θ+θ

=(cosθ+i・sinθ)(cosθ+i・sinθ

=(cosθcosθ−sinθsinθ)+i(sinθcosθ+cosθsinθ

となり、実部がcosの加法定理、虚部がsinの加法定理に相当します。

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