画像処理の基礎講座(目次)  画像処理・画像解析ソフトPopImagingの紹介

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2.複素数の基礎

2-4.共役複素数の四則演算

複素数

=x+iy

=x+iy

の共役複素数を

C(z)=x−iy

C(z)=x−iy

とすると、共役複素数の四則演算に関しては次の関係式が成立します。

C(z±z)=C(z)±C(z) … (2-17)

C(z)=C(z)C(z) … (2-18)

C(z/z)=C(z)/C(z) … (2-19)

すなわち、複素数を四則演算した結果の共役複素数は各々の共役複素数の四則演算に等しくなります。また、共役複素数を用いると複素数の実部と虚部はそれぞれ次のように表すことができます。

Re(z)=x=(z+C(z))/2 … (2-20)

Im(z)=y=(z−C(z))/2i … (2-21)

このことを複素平面上で考えると、複素数zの実部Re(z)の値は、図2−6に示すようにz/2とその共役複素数C(z/2)のベクトル和で与えられ、虚部Im(z)の値は、図2−7に示すようにz/2とその共役複素数C(z/2)のベクトル差を−π/2回転させたもので与えられることを表しています。

図2-6:複素数の実部

図2-7:複素数の虚部

式(2-20)、(2-21)を極座標表示するとそれぞれ次のように表すことができます。

Re(z)=r・cosθ=(z+C(z))/2 … (2-22)

Im(z)=r・sinθ=(z−C(z))/2i … (2-23)

ここで、絶対値rが1である複素数zを考えると三角関数sinθ、cosθは共役複素数z/2、C(z/2)の和と差(ベクトル和とベクトル差)で表すことができるという、複素数における重要な性質を得ることができます。三角関数を複素数で表現する時はベクトル和とベクトル差を利用することから、z/2、C(z/2)のように1/2した複素数を用いることに注意して下さい。

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